Содержание
Разносторонний треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов по определению является треугольником, потому что один из углов имеет 90 градусов, то есть это прямой угол. Такие треугольники очень распространены в инструкциях по тригонометрии, поэтому интересно знать как длину сторон треугольника этого типа, так и то, как его можно получить.
направления
-
Сориентируйте разносторонний треугольник так, чтобы сторона среднего размера была горизонтальной снизу, а меньшая сторона - справа. Тогда угол 30 градусов будет слева, а угол 60 градусов вверх. Найдите длину гипотенузы с буквой H.
-
Определите длину более короткой стороны, разделив H на 2. Определите длину нижней стороны, умножив H на √3 / 2. В качестве альтернативы найдите длину нижней стороны, умножив более короткую сторону на √3, что может быть легче запомнить, чем число √3 / 2.
-
Определите H, если найдена одна из других сторон, умножив более короткую сторону на 2 или умножив среднюю длину на 2 / √3. Конечно, если вы уже знаете две стороны, вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти третью, потому что это прямоугольный треугольник.
-
Получите, откуда предыдущие числа пришли следующим образом: поместите два треугольника на 30-60-90 градусов одинакового размера бок о бок, средняя длина постукивая по середине, а более короткие стороны образуют прямую линию снизу. Обратите внимание, что эти два треугольника теперь образуют треугольник со всеми углами, равными 60 градусам. Треугольник теперь равносторонний. Поскольку все углы равны, длины одинаковы. Следовательно, три стороны имеют длину H. Обратите особое внимание, что нижняя сторона имеет длину H. Поскольку нижняя сторона состоит из двух более коротких сторон, более короткая сторона треугольника с углами 30-60-90 равна H / 2. По теореме Пифагора средняя сторона должна быть H√3 / 2.
чаевые
- Стороны треугольного треугольника с длиной гипотенузы в 1 часто появляются в упражнениях тригонометрии. Если вы поместите треугольник в круг так, чтобы более короткая сторона касалась положительной оси x, а гипотенуза длиной 1 простиралась от начала координат до круга, точка пересечения в круге имела координату x, равную 1/2 ey. √3 / 2. Это синус и косинус 30 градусов. Если треугольник повернут таким образом, что средняя длина лежит на положительной оси х, вместо этого точка пересечения в круге имеет координату х в √3 / 2 и у в 1/2. Тогда говорят, что косинус 60 градусов равен 1/2, а синус 60 градусов равен √3 / 2. По аналогичным рассуждениям, синус и косинус 45 градусов оба равны √2 / 2 = 1 / √2, потому что треугольник углов 45-45-90 с гипотенузой имеет стороны длиной 1 / √2. Обратите внимание, что при переходе от 30 до 45 до 60 градусов косинус уменьшается от √3 / 2 до √2 / 2 до √1 / 2 (= 1/2), а синус увеличивается от √1 / 2 до √2 / От 2 до √3 / 2. Этот шаблон генерирует интересную мнемонику для чисел, обсуждаемых в шагах один, два и три.
предупреждение
- Не путайте рассмотренный выше треугольник с прямым треугольником сторон 3-4-5, который имеет простое соотношение сторон, но не имеет тех же углов, что и треугольник 30-60-90 градусов.