Содержание
Наше современное понимание кардинальности основано на работах Георга Кантора в 1890-х гг. Наборы могут иметь три типа кардиналов: конечный, счетный и неисчислимый. Конечным наборам может быть присвоен определенный номер, например их количество элементов: количество элементов в наборе. И счетные, и бесчисленные множества бесконечны. Кантор был первым математиком, который указал, что характеристика бесконечного множества состоит в том, что он может быть помещен в однозначное соответствие со своим собственным подмножеством самого себя.
направления
-
Дайте определенное число для набора мощности, если оно конечно. Для этих наборов мощность - это количество объектов в нем. Для бесконечности невозможно определить конкретное число для кардинальности - мы можем использовать только одно описательное слово. Подмножество набора - это то, которое содержит некоторые, но не все, числа набора, но не содержит его. Например, поднабор букв в португальском алфавите - это буквы в слове «банан». Для конечных наборов правильные подмножества меньше, чем набор. Что не верно для бесконечных множеств.
-
Начните с определенного элемента набора и продолжайте определенным образом всегда перечислять все элементы набора. Это определение учета бесконечного множества. Ключевая особенность заключается в том, что существует алгоритм для вечного перечисления всех элементов. Архетипичным счетным бесконечным множеством является целое число. Начните с «один» и продолжайте со следующего порядкового номера. Вы не можете дать число кардинальности, вы только скажете, что оно вечно. Обратите внимание, что для каждого целого числа есть соответствующее четное число, которое будет в два раза больше. Целых чисел столько же, сколько четных. Существует однозначное соответствие между набором и соответствующим подмножеством этого набора.
-
Сравните набор с числами от нуля до единицы, чтобы увидеть, бесконечно ли оно бесконечно. Вы не можете начать их подсчет, потому что нет «следующего» числа после числа от нуля до единицы. Кантор привел пример, чтобы помочь с интуитивным пониманием бесчисленных множеств: точек и линий. Точки не длинные или широкие, даже если линия состоит из точек. Если линии представляют собой бесконечность точек, длина линии будет 0 + 0 + 0 и так далее, навсегда. Линии должны иметь несчетное количество точек.
чаевые
- Тест Кантора состоит в том, чтобы увидеть, имеют ли два набора одинаковую мощность, можно ли сопоставлять элементы набора один за другим.
предупреждение
- Арифметика будет работать только для конечных множеств. Если N является как счетной, так и бесконечной бесконечностью, N + 1 = 200N = N + N = N.