Содержание
Если бы вам нужно было сделать квадрат и провести две диагональные линии, они пересеклись бы в центре квадрата и образовали бы четыре прямоугольных треугольника; две линии пересекаются под углом 90 градусов. Можно интуитивно обнаружить, что эти две диагонали в кубе, каждая из которых проходит от одного угла к другому и пересекается в центре, также могут пересекаться под прямым углом; но это было бы ошибкой. Определение угла, под которым пересекаются две диагонали, немного сложнее, чем кажется на первый взгляд, но это хорошая практика, чтобы понять принципы геометрии и тригонометрии.
Шаг 1
Определите длину кромки как единицу. По определению, каждое ребро куба имеет длину, равную влаге.
Шаг 2
Используйте теорему Пифагора, чтобы определить длину диагонали, которая идет от одного угла к другому на той же стороне, которую для ясности можно назвать «малой диагональю». Каждая сторона образовавшегося прямоугольного треугольника представляет собой единицу, поэтому диагональ должна равняться √2.
Шаг 3
Используйте теорему Пифагора, чтобы определить длину диагонали, идущей от одного угла до другого, с другой стороны куба, которую можно назвать «большой диагональю». У вас будет прямоугольный треугольник на одной стороне, равной одной единице, и стороне, равной «меньшей диагонали», что эквивалентно квадратному корню из двух единиц. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов сторон, поэтому гипотенуза должна быть √3. Каждая диагональ, идущая от одного угла до другого на другой стороне куба, равна √3 единиц.
Шаг 4
Нарисуйте прямоугольник, чтобы представить две большие диагонали в центре куба, и примите во внимание, что необходимо определить угол их пересечения. Этот прямоугольник должен быть высотой 1 единицу и шириной √2 единицы. Большие диагонали пересекаются в центре этого прямоугольника и образуют два разных типа треугольников. У одного из них будет сторона, равная 1 единице, а у двух других √3 / 2 (половина длины большей диагонали). У другого две стороны будут равны √3 / 2, но ваша первая будет √2. Вам нужно только проанализировать один из треугольников, выбрать первый и открыть неизвестный угол.
Шаг 5
Используйте тригонометрическую формулу «c² = a² + b² - 2ab x cos C», чтобы найти неизвестный угол этого треугольника. «C = 1», а «b» и «a» равны √3 / 2. Подставляя эти значения в уравнение, мы находим, что косинус угла равен 1/3. Косинус, обратный косинусу 1/3, соответствует углу 70,5 градусов.